Ciência e Tecnologia: bases para o Desenvolvimento Social
20 a 25 de outubro de 2014
Trabalho 3438
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | CNPq |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Mauro Lúcio Marotta |
| Orientador | ABILIO LEMOS CARDOSO JUNIOR |
| Título | Reciprocidade Quadrática de Gauss e Aplicações |
| Resumo | A lei de reciprocidade quadrática afirma que se p e q são primos há uma relação direta entre p ser resíduo quadrático módulo q e q ser resíduo quadrático módulo p. A lei reciprocidade quadrática de Gauss fornece essa relação entre p e q. Apresentaremos uma pequena introdução sobre teoria de grupos e a seguir, métodos de resolução de equações de grau 2 módulo m, seguido de uma demonstração da lei de reciprocidade quadrática de Gauss e algumas aplicações. Primeiramente realizaremos uma introdução sobre teoria de grupos, tendo início nas definições básicas de grupos e subgrupos, passando por grupos cíclicos e encerrando em classes laterais, visando a demonstração do teorema de Lagrange e alguns corolários (que serão apenas anunciados), para provar que o grupo das classes dos restos módulo p, para p primo, é um grupo cíclico (fato que estará implícito em algumas das demonstrações seguintes). Continuando, será apresentado o símbolo de Legendre e algumas de suas propriedades, o qual será um auxílio na resolução de equações de grau 2 módulo m, nosso próximo tópico, este que contará com a demonstração de dois critérios utilizados: o Critério de Euler e o Critério de Gauss. Para o segundo, será demonstrado também seus dois suplementos, sendo eles a forma desenvolvida do critério de Gauss para os valores -1 e 2. Posteriormente estenderemos os conceitos do símbolo de Legendre, o que é conhecido como símbolo de Jacobi (um produto de símbolos de Legendre). Seguindo, será apresentada uma demonstração da Lei de Reciprocidade Quadrática de Gauss proposta por Eisenstein (1823-1852), encontrada no livro Teoria dos Números de Salahoddin Shokranian e algumas aplicações dessa lei. Utilizado em conjunto com o critério de Euler ou o críterio de Gauss, essa lei facilita determinar se um número é ou não resíduo quadrático modulo p, uma vez que ela diz que o símbolo para p e q é o mesmo ou o inverso para q e p. Sabendo disso é possível aplicar, por exemplo, o critério de Euler, que por sua vez transforma a equação numa potência para avaliar se é congruente a 1 ou a -1 módulo p. De uma forma mais básica para mostrar sua utilidade, basta apenas pensar o que seria mais fácil de calcular: 3¹¹³ ou 113³. |
| Palavras-chave | Reciprocidade Quadrática, Gauss, grau 2 módulo m |
| Forma de apresentação..... | Painel |