Ciência e Tecnologia: bases para o Desenvolvimento Social
20 a 25 de outubro de 2014
Trabalho 2825
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | CNPq |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Sarah Faria Monteiro Mazzini |
| Orientador | MARINES GUERREIRO |
| Título | Reticulados, sistemas finitos de raízes e suas relações com a teoria de Lie |
| Resumo | Os primeiros resultados sobre sistemas de raízes foram apresentados no final do século XIX por W. Killing e E. Cartan em seus estudos sobre a classificação das álgebras de Lie simples e semissimples de dimensão finita sobre o corpo dos complexos. Ambos observaram que para cada raiz não nula está associada uma involução que estabiliza o sistema finito de raízes de uma álgebra de Lie. Influenciados pelo trabalho de H. Weyl, consideraram o grupo W gerado por tais involuções, chamando-o grupo de Weyl, o qual assumiu um papel importante na compreensão e na descrição da teoria de representações das álgebras de Lie. Estes grupos de Weyl são grupos finitos gerados por reflexões e, portanto, estão sujeitos à classificação dos grupos de H.S.M Coxeter. Neste trabalho foi feita uma abordagem diferente da usual. O objetivo foi, a partir de reticulados e sistemas de raízes, construir álgebras de Lie simples e semissimples. Primeiramente foram estudados conceitos básicos necessários ao entendimento do trabalho, tais como produto tensorial e módulos livres. Em seguida foram estudados os diferentes tipos de reticulados, com suas propriedades, dentre as quais suas matrizes e invariantes. Foram estudados também os sistemas finitos de raízes e suas propriedades que são necessárias para construir álgebras de Lie simples e semissimples. A definição de base para um sistema de raízes é de extrema importância nesta teoria, pois permite, por exemplo, classificar estes sistemas. Uma construção importante é a dos diagramas de Coxeter-Dynkin, que dependem da chamada matriz de Cartan, que tem suas entradas definidas pelos elementos da base de um sistema de raízes. É possível estabelecer uma correspondência entre todos os sistemas de raízes redutíveis e indecomponíveis e os diagramas de Coxeter-Dynkin. Finalmente foram construídas as álgebras de Lie simples e semissimples utilizando um subreticulado L(2) de um reticulado L formado pelos elementos de norma 2 de L, os sistemas de raízes e os diagramas de Coxeter-Dynkin, alcançando o objetivo do trabalho. |
| Palavras-chave | reticulados, sistemas finitos de raízes, álgebras de Lie semissimples |
| Forma de apresentação..... | Oral |