Ciência e Tecnologia: bases para o Desenvolvimento Social
20 a 25 de outubro de 2014
Trabalho 2818
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | PROBIC/FAPEMIG |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Apoio financeiro | FAPEMIG |
| Primeiro autor | Vanessa da Luz Vieira |
| Orientador | SIMONE MARIA DE MORAES |
| Título | Grupos Cristalográficos |
| Resumo | Um movimento plano é uma isometria, que é uma transformação do plano no plano que não altera a distancia entre os pontos e, portanto preserva a forma dos objetos no plano, ainda que podemos movimentá-los. Assim, os movimentos levam retas em retas, círculos em círculos, ... etc. sem modificar o tamanho ou a forma dos mesmos. O conjunto dos movimentos planos com a operação composição tem uma estrutura de grupo, chamado Grupo de Isometrias Planas, este grupo é constituído de reflexões, rotações, translações e reflexões com deslizamento. O teorema de classificação de isometrias planas mostra que esses movimentos são obtidos pela composição de até três reflexões. Os subgrupos de isometrias gerados por duas translações linearmente independentes são chamados Grupos Cristalográficos Planos, estes grupos são grupos de simetrias de figuras planas e este nome se deve ao fato de que descrevem as simetrias da estrutura de cristais que encontramos na natureza. Os árabes em plena Idade Media já conheciam os 17 grupos cristalográficos e utilizava-os na decoração de suas mesquitas, castelos e fortalezas. Porém, foi em 1891, o cientista E. S. Feodorov, ao fazer uma classificação exaustiva, demonstrou que existem exatamente 17 tipos destes grupos. Em 1897 F. Klein e Fricke redescobriram este resultado. Atualmente os grupos cristalográficos são utilizados em ladrilhamentos do plano e em diversas aplicações geométricas, também foram estendidos ao caso do plano hiperbólico, no qual aparece o ladrilhamento do disco de Escher, um clássico das figuras planas. Neste trabalho fazemos um estudo dos grupos cristalográficos ou grupos de papéis de parede, abordando desde sua construção até sua representação gráfica. Assim, começamos introduzindo as noções básicas e alguns resultados sobre grupos cristalográficos, reticulados, reticulados sobre célula unitária, quadriláteros rômbicos, entre outros conceitos. Em seguida estudamos as propriedades destes grupos, tanto as que tratam de isometrias ímpares como as de translações e rotações. A partir dos grupos cristalográficos que possuem rotações determinamos quando um ponto P é um n-centro, o que nos possibilita obter o Teorema da Restrição Cristalográfica e, consequentemente, determinar todos os possíveis grupos cristalográficos W que contém um n-centro, e por este teorema concluímos que n deve ser igual a 2, 3, 4 e 6. Finalizamos nosso trabalho apresentando todos papéis de parede, fazemos a descrição completa de alguns destes grupos e apresentamos figuras que ilustram cada um dos 17 grupos. |
| Palavras-chave | Isometrias planas, grupos cristalográficos, simetrias |
| Forma de apresentação..... | Oral |