Ciência e Tecnologia: bases para o Desenvolvimento Social
20 a 25 de outubro de 2014
Trabalho 2631
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | Outros |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Neemias Silva Martins |
| Orientador | SIMONE MARIA DE MORAES |
| Título | Introdução à Teoria de Nós e Invariantes de Nós Polinomiais |
| Resumo | Neste trabalho estudamos os conceitos iniciais da Teoria de Nós e seus invariantes. Um nó é uma curva fechada sem intersecções mergulhada no espaço tridimensional, um dos precursores da Teoria de Nós foi o matemático alemão Karl Friedrich Gauss no século XIX fez um estudo de nós focalizando o número de enlaçamentos com o objetivo de estudar aplicações na Eletrodinâmica. Por volta de 1880 William Thompson formulou um modelo para estrutura dos átomos baseado nos nós, segundo ele os átomos eram modelados por enlaces, sendo que o tipo do nó determinaria as propriedades físico-químicas do mesmo. Peter Guthrie Tait apoiado nas ideias de Thompson dedicou-se ao estudo das partículas como sendo “minúsculas torções topológicas” visando aplicações dos nós na Química. A teoria de Thompson foi ultrapassada ao surgir o modelo atômico de Rutherford-Bohr, na qual um átomo é descrito como um núcleo pequeno, de carga elétrica positiva, cercado por elétrons em órbita circular. Assim a Teoria de Nós é posta de lado por vários cientistas, e se torna um objeto de estudo da Matemática. Como um nó é um mergulho do círculo no espaço tridimensional são objetos intrinsecamente iguais, pois se os imaginássemos sobre um nó qualquer não saberíamos distinguir em qual estaríamos. Porém, os nós são objetos extrinsecamente, como objetos tridimensionais, diferentes, daí a necessidade definir uma equivalência de nós, e esta é a principal questão central da Teoria de Nós, sua classificação. Na verdade, dois nós são equivalentes, se um pode ser deformado em outro por movimentos contínuos. Neste trabalho, apresentamos a cronologia histórica da Teoria de Nós, em seguida introduzimos as primeiras ferramentas utilizadas para classificar nós, a saber, número de cruzamentos, movimentos de Reidemeister, e a tricolorabilidade, este último um invariante desenvolvido por Ralph Fox baseado na coloração dos arcos de um nó. Finalizamos o trabalho com o estudo de invariantes polinomiais de nós, assim construímos o polinômio de Alexander e introduzimos as relações que definem os polinômios de Conway, de Jones e HOMFLY. Além disso, apresentamos exemplos de nós que detectamos a não equivalência através destes polinômios, mostrando assim que tais invariantes não são completos. Destacamos também o fato de que, apesar de toda a teoria desenvolvida desde Gauss, ainda hoje não há um invariante completo que classifique os Nós Clássicos. |
| Palavras-chave | Teoria de nós, invariantes polinomiais, nós clássicos |
| Forma de apresentação..... | Painel |