Ciência e Tecnologia: bases para o Desenvolvimento Social
20 a 25 de outubro de 2014
Trabalho 2112
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | PROBIC/FAPEMIG |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | FAPEMIG |
| Primeiro autor | Vinicius Tavares Azevedo |
| Orientador | SIMONE MARIA DE MORAES |
| Título | Grupos de Matrizes e Geometria |
| Resumo | A Geometria é um ramo da Matemática que estuda as formas planas e espaciais, com suas propriedades. Euclides considerado como o precursor da Geometria teve a sua principal obra Os Elementos trabalhada de forma axiomática. No século XIX tivemos uma evolução no desenvolvimento da Geometria graças ao Programa Erlanger proposto por Felix Klein, no qual a geometria é vista como um grupo de transformações sobre um espaço, esse ponto de vista se diferenciava da visão axiomática de geometria tratada por Euclides. A fim de tomar contato com essa geometria do século XIX, neste projeto, iniciamos com um estudo da Teoria de Grupos e seus resultados preliminares. Em seguida passamos ao estudo de Isometrias Planas que são transformações do plano no plano que preservam distâncias entre dois pontos, isto é, são transformações que preservam a forma de figuras planas. Mostramos que estas transformações são reflexões, translações, rotações e reflexões com deslizamento, apresentamos também o teorema de classificação das isometrias planas que mostra que estes movimentos planos são todos obtidos através de composições de até três reflexões. Em seguida estudamos os grupos de matrizes sobre um conjunto K, onde K=R, o conjunto dos números reais, ou K=C, o conjunto dos complexos, ou K=H, o conjunto dos números quatérnios. Apresentamos alguns grupos importantes dessa, a saber, grupos lineares, grupos ortogonais, os grupos ortogonais especiais, os grupos simpléticos, os grupos unitários e os grupos unitários especiais. Mostramos algumas relações entre tais grupos, por exemplo mostramos que o grupo simplético de ordem 1 é isomorfo ao grupo unitário especial de ordem 2. Finalizamos o trabalho com o estudo de transformações afins que estão associadas a um subgrupo do grupo linear de ordem 3, estas transformações são colinearizações e portanto preservam colinearidade, consequentemente toda isometria é uma transformação afim, mostramos que a recíproca deste resultado não é verdadeira, ou seja, nem toda transformação afim é uma isometria. Obtemos ainda um critério simples que caracteriza as transformações afins, o Teorema Fundamental da Geometria Afim, em seguida finalizamos apresentando as transformações afins: reflexões afins, cisalhamentos, dilatações e semelhanças. |
| Palavras-chave | Grupos de matrizes, transformações geométricas, geometria afim |
| Forma de apresentação..... | Painel |