Ciência e Tecnologia: bases para o Desenvolvimento Social
20 a 25 de outubro de 2014
Trabalho 1962
| ISSN | 2237-9045 |
|---|---|
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Matemática pura e aplicada |
| Setor | Departamento de Matemática |
| Bolsa | FUNARBIC/FUNARBE |
| Conclusão de bolsa | Sim |
| Apoio financeiro | FUNARBE |
| Primeiro autor | Heber Cristina Teixeira |
| Orientador | ROGERIO CARVALHO PICANCO |
| Título | Teoria de Morita para Categorias de Funtores |
| Resumo | O primeiro estudo sistemático da equivalência de categorias de módulos foi feito em 1958 por Kiiti Morita. Em seu artigo, Morita aborda equivalências contravariantes (dualidades) e covariantes (equivalência de módulos propriamente dita). Estabelece condições necessárias e suficientes para que as categorias de módulos de duas álgebras sejam equivalentes, que estabelece: Existe uma equivalência F : modA → modB se, e somente se, existe um A-módulo progerador P tal que EndP ∼ = B. Neste caso, a equivalência é dada, de forma única, pelo par de funtores adjuntos F = HomA(P,−) e G = − ⊗B P, a menos de isomorfismo de funtores. Dizemos então que as álgebras são Morita equivalentes. Por exemplo, toda álgebra A é Morita equivalente a álgebra Mn(A) de matrizes quadradas de tamanho n com entradas em A. No artigo de obituário, em homenagem a Morita, os autores consideram o Teorema de Morita “provavelmente um dos mais frequentes resultados utilizados na álgebra moderna”. Atualmente a Teoria de Morita se aplica em categorias abelianas e, mais geralmente, em categorias trianguladas tais como a categoria derivada de uma álgebra. Toda álgebra A pode ser considerada como uma categoria com 1 objeto, cujos morfismos são elementos da álgebra. Neste sentido, A-módulos são funtores F : A → Ab. Vamos generalizar o Teorema de Morita para categorias com mais de um objeto. Seja C uma categoria aditiva. A categoria de funtores F(C,Ab) de C para a categoria de grupos abelianos tem como objetos funtores e morfismos transformações naturais. Neste contexto, uma Teoria de Morita procura estabelecer condições necessárias e suficientes sobre as categorias C e C' para que as respectivas categorias de funtores F(C,Ab) e F(C',Ab) sejam equivalentes. Em 1972 D.C.Newell mostrou que pares de funtores adjuntos (F,G) estão associados a bifuntores U : C^{op} × C' → Ab e estabelece sobre tais bifuntores as condições necessárias e suficientes. Teorema: Seja U : C^{op} × C' → Ab um bifuntor e seja (F,G) o par de funtores adjuntos associado em Adj(F(C',Ab),F(C,Ab)). Então as seguintes afirmações são equivalentes. (a) (F,G) define uma equivalência de categorias; (b) U é C − C' progerador. |
| Palavras-chave | morita, funtores, equivalência |
| Forma de apresentação..... | Oral |