Bioeconomia: Diversidade e Riqueza para o Desenvolvimento Sustentável
21 a 25 de outubro de 2019
Trabalho 12824
| Instituição | Universidade Federal de Viçosa |
|---|---|
| Nível | Graduação |
| Modalidade | Pesquisa |
| Área de conhecimento | Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Área temática | Ciências Exatas e da Terra |
| Setor | Instituto de Ciências Exatas e Tecnológicas |
| Bolsa | PIBIC/CNPq |
| Conclusão de bolsa | Não |
| Apoio financeiro | CNPq |
| Primeiro autor | Leandro Henrique Silva Golz |
| Orientador | ALEXANDRE ALVARENGA ROCHA |
| Título | o grupo fundamental |
| Resumo | Um dos principais problemas da Topologia é dizer se dois espaços topológicos são homeomorfos, o que, para esta área, significa equivalentes. Um método que fornece uma condição necessária (mas não suficiente) para que dois espaços topológicos sejam homeomorfos, e que é tema deste trabalho, é associar uma estrutura algébrica a tais espaços topológicos e descobrir quando elas são isomorfas. Tal estrutura, chamada grupo fundamental, é um dos mais simples exemplos de como podemos associar um invariante algébrico a um espaço topológico. Na verdade, essa forma de tratar problemas de topologia é bastante ampla, sendo que grupos de homotopia e grupos de homologia são apenas uma introdução ao que chamamos Topologia Algébrica. Ainda assim, nosso foco será o primeiro grupo de homotopia. O conceito de homotopia, de onde tudo começa, nos fornece uma relação de equivalência sobre um espaço de aplicações contínuas. A partir dele já podemos conseguir vários resultados interessantes tais como a possibilidade de estender continuamente a todo espaço uma aplicação contínua definida num subconjunto fechado deste espaço (veremos o caso de aplicações contínuas definidas em S^n⊂ D^(n+1)) ou analisar condições em que existem um campo de vetores tangentes na esfera unitária. O Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, Teorema de Borsuk-Ulam e Teorema Fundamental da Álgebra também serão demostrados no âmbito das homotopias. Um tipo de homotopia que particularmente nos interessará serão as homotopias de caminhos. Definiremos uma lei de composição entre caminhos a qual induzirá, nas classes de homotopia, uma operação que cumpre os axiomas de grupo. Este grupo, como veremos, nos permitirá classificar espaços topológicos com fornecerá uma ideia geométrica da conexidade do espaço. Por exemplo, um espaço topológico com grupo fundamental trivial não possui “buracos”. Veremos vários exemplo deles. O cálculo do grupo fundamental do círculo S1, nos permite obter o de vários outros espaços familiares, como do toro do cilindro e da faixa de Möbius. |
| Palavras-chave | Espaço topológico, Grupo fundamental, Homeomorfismo |
| Apresentações |
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